17250035 - Logique

Licence 3 - Semestre 5 - Année universitaire 2025-26

Enseignant : Hugo CADIÈRE

Thème du cours : Introduction à la logique du premier ordre

Comme au semestre précédent, mais de façon beaucoup plus approfondie, le cours commence par aborder la notion d’énoncé. Après une introduction historique, le cours débute par une présentation patiente des énoncés de la "logique du premier ordre" (c’est à dire la logique des prédicats - propriétés et relations - avec quantification réduite aux seuls individus). Une attention particulière est accordée :

• à la distinction "individu / prédicat",
• à la notion de constante et à celle de variable,
• à la généralisation de la notion de "propriété" (prédicat unaire, 1-aire) par la notion de "relation binaire" (prédicat binaire, 2-aire) et, plus généralement, de "prédicat k-aire",
• à celle d’énoncé comprenant de l’indétermination (comprenant des variables libres),
• et à la question délicate de la neutralisation de ce caractère indéterminé par les quantificateurs (neutralisation effective de l’indétermination malgré la présence de variables).

Un temps substantiel sera consacré au problème de la traduction des énoncés du français vers le langage de la logique du premier ordre (version) et inversement (thème), et aux difficultés que peut présenter la lecture des formules du premier ordre. Les débats philosophiques quant aux relations qu’entretiennent les langues historiques et les langues artificielles de la logique sont également abordés.

Après de rapides rappels sur la Déduction Naturelle propositionnelle (étudiée au S4), la déduction naturelle du premier ordre est ensuite présentée, en commençant par les règles pour le quantificateur universel. Ce n’est qu’une fois ce fragment maîtrisé (reconnaissance et recherche de preuves dans ce fragment) que le traitement du quantificateur existentiel est abordé. À ce moment du cours, les énoncés de la syllogistique aristotélicienne sont présentés et comparés au format proposé par les langages du premier ordre (et la syllogistique est brièvement interprétée dans le format de la déduction naturelle).

Une fois la quantification existentielle maîtrisée, les enjeux philosophiques de la critique intuitionniste du tiers-exclu (et/ou du raisonnement par l’absurde) concernant la disjonction et le quantificateur existentiel sont présentés, et en particulier la ligne de démarcation entre un sens constructif de l’existence (accompagnée d’un "témoin", pouvant être exhibé ou construit) et un sens non constructif (en logique classique). Les controverses autour de la constructivité logique et leur liens avec les problématiques de l’infini sont alors évoquées.

Si le temps le permet, une brève introduction à l’ainsi nommée sémantique ensembliste de la logique du premier ordre sera donnée (au moins pour le cas "monadique", autrement dit pour les énoncés comprenant seulement des constantes de prédicats unaires). Dans ce cas, les propriétés de correction et de complétude de la logique du premier ordre seront rapidement présentées. Et l’application de la correction à la réfutabilité de la prouvabilité en logique du premier ordre sera rapidement abordée.
 

Un polycopié est mis à disposition des étudiants. Les aspects formels y sont abordés, mais il comprend aussi un recueil d’extraits de textes philosophiques éclairant les aspects plus techniques du cours. La lecture et l’étude de ce polycopié très complet et qui porte très exactement sur le programme suivi, suffit pour valider le cours.

Terminal écrit (TE) 4h