17250035 - Logique

• JOINET Jean-Baptiste

Présentation du cours :
Comme au semestre précédent, mais de façon beaucoup plus approfondie, le cours commence par aborder la notion d’énoncé. Le cours commence par une présentation patiente des énoncés de la « logique du premier ordre » (c’est à dire la logique des prédicats - propriétés et relations - avec quantification réduite aux seuls individus). Une attention particulière est accordée :

• à la distinction « individu / prédicat », 
• à la généralisation de la notion de « propriété » (prédicat unaire) par la notion de « relation binaire » (prédicat binaire)
• à la notion de constante et à celle de variable, 
• à celle d’énoncé comprenant de l’indétermination (comprenant des variables libres), 
• et à la question délicate de la neutralisation de ce caractère indéterminé par les quantificateurs (neutralisation effective malgré la présence de variables),
• enfin au cas général de langages comprenant des prédicats n-aires.

Un temps substantiel est consacré au problème de la traduction des énoncés du français vers le langage de la logique du premier ordre (version) et inversement (thème) des difficultés que peut présenter la lecture des formules du premier ordre. Les débats philosophiques quant aux relations qu’entretiennent les langues historiques et les langues artificielles de la logique sont rapidement abordés.

La déduction naturelle du premier ordre est ensuite présentée, en commençant par les règles pour le quantificateur universel. Ce n’est qu’une fois ce fragment maîtrisé (reconnaissance et recherche de preuves dans ce fragment) que le traitement du quantificateur existentiel est abordé. A ce moment du cours, les énoncés de la syllogistique aristotélicienne sont présentés et comparés au format proposé par les langages du premier ordre (et la syllogistique est brièvement interprétée dans le format de la déduction naturelle).

Une fois la quantification existentielle maîtrisée, les enjeux philosophiques de la critique intuitionniste du tiers-exclu (et/ou du raisonnement par l’absurde) concernant le quantificateur existentiel sont présentés, et en particulier la ligne de démarcation entre un sens constructif de l’existence (accompagnée d’un « témoin », pouvant être exhibé ou construit) et un sens non constructif (en logique classique). Les controverses autour de la constructivité logique et leur liens avec les problématiques de l’infini sont alors évoqués.